狐狸小说

第2章 希尔伯特的野望——严格化“离散解析延拓”（第2页）

c_k，使得对任意足够大的

n，有

a{n+k}

=

c?

a{n+k-1}

+

。。。

+

c_k

a_n。这使得序列由有限个初始值和递推关系完全确定。

生成函数的“好”性质：其生成函数

a（x）

=

Σ

a_n

x^n

是一个有理函数（即两个多项式的商）。这是线性递推关系的直接推论，也是整个方法可行的关键。有理函数具有极好的解析性质。

希尔伯特清晰地认识到，生成函数

a（x）

的有理性，是连接离散序列与复分析世界的黄金桥梁。有理函数在其收敛圆盘内是解析的，而它的极点分布（分母多项式的零点）直接决定了收敛半径和解析延拓的潜在奇点位置。

第二步，是构建纯分析的延拓机器。希尔伯特开始施展他强大的函数论技巧：

部分分式分解：对于一个有理生成函数

a（x），他首先利用代数学的基本定理，将其分解为更简单的分式之和（部分分式分解）。每个简单分式对应着生成函数极点的主要部分。

解析延拓的核心步骤：对于每个形如

1（1

-

ax）^m

这样的简单分式（其中

a