狐狸小说

第28章 第二日答辩——p进几何的奠基（第2页）

∈

c_p

|

|x|

≤

1

}，不再视为由所有开集覆盖，而是考虑其上的一种特殊的、具有‘整体’性质的函数环，即泰特代数

t?

=

c_p

t

>，它由满足特定收敛条件的幂级数构成。这个代数，以及由它定义的极大谱，就构成了一个最基本的‘刚性解析空间’。”

“在这个框架下，”塔特的语气带着发现真理的兴奋，“p进整数环

z_p，可以自然地视为这个单位圆盘中的一个‘闭子空间’！更准确地说，它是满足某种积分性条件的点集。因此，我们说z_p是一个刚性解析空间，而且是紧致的！”

这番话，如同拨云见日。塔特将那个看似古怪的、全不连通的z_p，完美地嵌入到了“刚性解析空间”这个现代几何的范畴之中。z_p不再是一个孤立的、仅凭拓扑定义的对象，而是一个具有内在几何结构（由它的函数环所定义）的、合法的“空间”。

“现在，回答韦伊教授的问题，”塔特转向质疑的核心，“在这个刚性解析几何的范畴里，z_p

拥有：

第一，结构层：由局部定义的刚性解析函数芽构成。

第二，上同调理论：我们可以定义其刚性上同调，并且，奇迹般地，这个上同调与它的代数变形（例如，将其视为特征p域上某个代数簇的形式纤维）的上同调，通过一种深刻的比较定理联系起来！

第三，微分形式：可以定义p进微分形式的层，并研究其性质。

第四，纤维丛、向量丛等概念，也都有其自然的类比。”

塔特最后掷地有声地总结：“因此，我们所说的‘2-adic流形’，严格而言，是指以z_p为局部模型的刚性解析空间。它不是一个启发式的比喻，而是一个有着坚实内蕴定义、丰富理论工具、并且通过比较定理与经典代数几何紧密相连的、合法的几何对象！格罗莫夫教授的动力系统几何化，斯梅尔教授的迹公式，正是建立在这个严格的几何基础之上！”