狐狸小说

第29章 第三日答辩——谱理论的完胜（第3页）

（z?），其中β

>

a。关键是要证明，c^a

可以紧嵌入到c^β

中吗？不完全是。我们需要一个更精细的嵌入。”

他引入了“分数阶索伯列夫空间”

在p进情形的类比物。“在z?上，我们可以定义基于p进差商的某种‘能量范数’。可以证明，我们的函数空间（具有有界的a阶霍尔德范数）紧嵌入到另一个略‘弱’一些的函数空间（例如，l2（m）空间）中。”

“现在，看算符l的魔法！”格罗莫夫的声音充满力量，“由于t的混合性（这可以从其遍历性进一步推导）和几何结构（即其‘下降’为主的特征），算符l不仅平滑化函数，它实际上能够控制函数的某种‘振荡’能量。更具体地说，我们可以证明存在一个常数θ

1，使得对于所有函数f，有

||l

f

||{能量}

≤

θ

||

f

||{能量}。”

“这个不等式，”格罗莫夫重重地点着黑板，“结合能量范数控制谱半径的泛函分析基本引理，直接导致了

p（l）

≤

θ

1！这就严格证明了谱半径严格小于1！”

格罗莫夫的证明，将动力系统的几何性质（混合性、树状结构）、函数空间的嵌入关系（索伯列夫空间的紧嵌入）

和算子的范数估计

天衣无缝地结合在一起。他找到了一个恰当的几何不变量（能量范数），使得collatz映射的内在动力学特性能够转化为一个强力的分析不等式，从而一举攻克了最困难的谱半径估计。