狐狸小说

第11章 复平面上的黄金数列（第3页）

z?1（或者从另一种视角，直接考虑以复变量s为指数的生成函数）。

通过一系列巧妙而自然的变换（本质上是将离散的求和与复平面上的积分或解析延拓技巧联系起来），艾莎成功地从这个离散的生成函数出发，构造出了一个全新的、定义在整个复平面上的复变函数！我们或许可以称之为

“复斐波那契函数”，记为

z_f（s）。

这个函数

z_f（s）

具有非凡的性质：

当

s

取正整数

n

时，z_f（n）

的值正好等于第

n

个斐波那契数

f?。（这保证了它是斐波那契数列的真正延拓。）

它是一个亚纯函数，在整个复平面上除了有限个极点外，是解析的。它的极点分布，奇妙地反映了斐波那契数列递推关系的特征。

它拥有一个漂亮的、与黄金比例

φ

相关的函数方程，将

z_f（s）

与

z_f（1-s）

联系起来，这背后隐藏着比内公式的对称性。

这本身就是一项了不起的成就！它将一个经典的离散对象，提升到了一个连续复变的层面，为研究斐波那契数列提供了全新的、强有力的解析工具。这仿佛是黎曼精神在一个具体而微的领域内的重现。

但艾莎没有止步于此。拥有了

z_f（s）

这个强大的新工具，她开始探索斐波那契数列中最古老、最诱人的问题之一：斐波那契数列中是否有无穷多个素数？